Math/Calculus

Analytic function

$f : C^\infty - ftn$ 일 때, taylor series $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$ 를 얻을 수 있다. 그리고 이 taylor series가 nbhd of $a$ 에서 $f(x)$ 로 수렴하면 $f\ $ : analytic at $a$ 라고 정의한다. 즉, $f(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$, $\quad \forall\ $ $x \in$ ( nbhd of $a$ ) 일 때 $f\ $ : analytic at $a$ 라고 정의한다. analytic ftn의 놀라운 점은 한 점에서의 local한 ..

Cauchy's mean value theorem

Cauchy's mean value theorem Let $f$ : continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$. Then, $\exists \ c\ $ s.t. $\ f'(c) (g(b)-g(a)) = g'(c) (f(b)-f(a))$ 조금 더 풀어서 적자면, $\exists \ c\ $ s.t. $\ (f'(c), g'(c)) \parallel (f(b)-f(a), g(b)-g(a))$ 기하학적으로 생각해보면 쉽다. $\alpha(t) = (f(t), g(t))$, $\ t \in [a, b]$ 를 생각하자. 속도와 변위가 평행한 순간 $t = c$ 가 존재한다!

Finding Extrema

1. Extrema 의 존재성 확인 가장 먼저 extrema가 존재하는지 확인을 해야 한다. compact domain $D$에서 정의된 $C^1$ 함수 $f : D \to \mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하자. Extreme value theorem에 의해 extrema 존재한다. global extremum points 후보 = ($D$ 내부의 critical points) + ($\partial D$ 의 critical points) 2. $D$ 내부에서 후보 찾기 Thm 1 Let $f \in C^1$. $\mathbf{x_0}$ : Local extremum point $\Rightarrow$ $\nabla f(\mathbf{x_0}) = \mathbf{0}$ Thm 1을 이용해 local ..

직선의 direction vector 찾기

$\begin{bmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \\ z-z_0 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ 임을 활용한다. Example $z = \frac{\partial f}{\partial x} (x-x_0) + f(x_0, y_0), \quad y - y_0 = 0$ 의 direction vector를 구해보자. $tv_3 = \frac{\partial f}{\partial x} (tv_1), \quad tv_2 = 0$ $v_3 = \frac{\partial f}{\partial x} (v_1), \quad v_2 = 0$ $\therefore v = (1, 0, \frac{\partial f}{\partial..