Analytic function

$f : C^\infty - ftn$ 일 때, taylor series $\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$ 를 얻을 수 있다.

 

그리고 이 taylor series가 nbhd of $a$ 에서 $f(x)$ 로 수렴하면 $f\ $ : analytic at $a$ 라고 정의한다.

 

즉,

 

$f(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$, $\quad \forall\ $ $x \in $ ( nbhd of $a$ )

 

일 때 $f\ $ : analytic at $a$ 라고 정의한다.

 

 

 

analytic ftn의 놀라운 점은 한 점에서의 local한 정보(derivatives)가 함수 전체를 결정한다는 것이다.

 

$y = \sin{x}$를 원점에서 떨어진 곳에서 살짝 건드려서 여전히 $C^\infty - ftn$ 이 되도록 할 수 있다.

 

하지만, $y = \sin{x}$를 원점에서 떨어진 곳에서 조금이라도 건드리면 즉시 $C^\omega - ftn$ 이 아니게 된다.