The Inverse Function Theorem

The Inverse Function Theorem

$\begin{cases}y_1 = f_1(x_1, x_2, ..., x_n) \\ y_2 = f_2(x_1, x_2, ..., x_n) \\ \cdots  \\ y_n = f_n(x_1, x_2, ..., x_n) \end{cases}$

 

$f_i \in C^1$ $\quad \forall i$ 라고 하자.

$(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0)$에 대하여 $f(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0) = \mathbf{0}$ 이라고 하자.

 

Jacobian $\hspace{0.3cm}$ $J = \frac{\partial (f_1, f_2, ..., f_n)}{\partial (x_1, x_2, ..., x_n)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &  \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \\ \end{vmatrix} \neq 0$ 이라고 하자.

 

 

Define

 

$\begin{cases} F_1(y_1, y_2, ..., y_n, x_1, x_2, ..., x_n) = f_1(x_1, x_2, ..., x_n) - y_1\\ F_2(y_1, y_2, ..., y_n, x_1, x_2, ..., x_n) = f_2(x_1, x_2, ..., x_n) - y_2\\ \cdots\\ F_n(y_1, y_2, ..., y_n, x_1, x_2, ..., x_n) = f_n(x_1, x_2, ..., x_n) - y_n\\ \end{cases}$

 

 

By the implicit function theorem, we have unique functions $\quad x_i = g_i(y_1, y_2, ..., y_n)$ $\ $ near $\ $ $\mathbf{y}_0\ $ which are $\ C^1$.

 

$\begin{cases} x_1 = g_1(y_1, y_2, ..., y_n) \\ x_2 = g_2(y_1, y_2, ..., y_n) \\ \cdots\\ x_n = g_n(y_1, y_2, ..., y_n) \end{cases}$

 

 

다른 말로, $\boldsymbol{(\mathbf{x}_0, \mathbf{y}_0)}$ 근방에서

 

$\begin{align*} \begin{cases}y_1 = f_1(x_1, x_2, ..., x_n) \\ y_2 = f_2(x_1, x_2, ..., x_n) \\ \cdots  \\ y_n = f_n(x_1, x_2, ..., x_n) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 = g_1(y_1, y_2, ..., y_n) \\ x_2 = g_2(y_1, y_2, ..., y_n) \\ \cdots\\ x_n = g_n(y_1, y_2, ..., y_n) \end{cases} \end{align*}$

 

가 성립한다.